দ্বারা ডগলাস জারি
গণিতবিদরা বিশদভাবে বিশ্বের দিকে তাকান। আমরা অস্পষ্ট বিষয়গুলিতে আগ্রহী, আমরা অন্যদের কাছ থেকে কিছু বিষয় নিয়ে চিন্তা করতে পারি না বা কখনও চিন্তা করি না এমন বিষয়ে কিছুটা সন্তুষ্টি লাভ করি এবং প্রায়ই আমরা “বাস্তব জগৎ” (আমাদের অস্বস্তিকর বিষয়ে) সম্পর্কে আকর্ষণীয় বিবৃতিগুলি প্রয়োগ করতে পারি। আমি আশা করি যে আপনি এই একমত যে এই আকর্ষণীয় বিবৃতি এক।
উপপাদ্য (কার্ট ম্যাকমুলেন, 1994): ব্যাকগ্যামন সম্ভাবনা সঙ্গে শেষ 1
ব্যাকগ্যামন উদ্দেশ্য
অর্থাৎ, যদি কেউ র্যান্ডম ডাইস (এমনকি হালকাভাবে পক্ষপাতদুষ্ট), এবং কোনও আইনি বাজানো কৌশল (এমনকি হারানোর চেষ্টা) ব্যবহার করে, তাহলে সম্ভাব্যতাটি যে nth পদক্ষেপ দ্বারা খেলাটি শেষ হয়ে যায়, সেক্ষেত্রে অবাধে 1 হিসাবে n হিসাবে বাড়বে। এমন কিছু পদক্ষেপ আছে যা এই খেলাটি শেষ হয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা কমপক্ষে 99%, অন্তত 99.999%, ইত্যাদি। সুতরাং একটি খেলা চিরতরে চলতে থাকা সুযোগ 0।
এই ফলাফল, গণিত প্রচুর হিসাবে, সামান্য গণনা করা জড়িত। আমি যে কোন জায়গায় এখনও পর্যন্ত লিখিত বিবরণ দেখিনি, তবে এই ফলাফলটি কোনও গুরুতর ব্যাকগ্যামন প্লেয়ারে অ্যাক্সেসযোগ্য হওয়া উচিত। আমি উপপাদ্য প্রদর্শন করতে 3 টি পদক্ষেপ ব্যবহার করবো।
ধাপ 1: আসুন আমরা একটি বৈচিত্র্য কল্পনা করি: প্লেয়ার একটি কল (চয়ন) পাশা, এবং প্লেয়ার বি একটি আইনি পদক্ষেপ করতে হবে। এটা দেখানো যথেষ্ট যে এই পরিবর্তিত খেলা প্লেয়ার এ জন্য একটি জয় যতদিন প্রাথমিক অবস্থান আইনি হয়।
ধাপ 2: এই পরিবর্তিত খেলাটিতে, কোনও আইনগত অবস্থান থেকে প্লেয়ার এ পাখির চয়ন করতে পারে যাতে উভয় খেলোয়াড়ই বারে নয়। (এই 20 রোলস করা যেতে পারে।)
ধাপ 3: কোনও পজিশন থেকে প্লেয়ার উভয় খেলোয়াড়ই নয়, প্লেয়ার এটি সারির মধ্যে ২-4 টি যথেষ্ট সংখ্যক কল করার মাধ্যমে গেমটি শেষ করতে পারে। (9000 যথেষ্ট বার।)
কেন এটা দেখায় যে পাশা আহ্বান খেলা শেষ করতে পারে? আসুন আমরা ধরতে পারি যে কোনও পদ থেকে, সতর্কতার সাথে নির্বাচিত রোলসগুলির কিছু নির্দিষ্ট সংখ্যা “n” খেলা শেষ করবে। (আমরা প্রতিটি অবস্থানের জন্য একটি মান ছিল, আমরা সম্ভাব্য আইনি ব্যাকগ্যামন পজিশনের সীমিত সেট উপর প্রয়োজন সর্বাধিক সংখ্যা রোল গ্রহণ করতে পারেন।) কমপক্ষে 1/36 ^ এন যে পাশা আচরণ করা হবে একটি সুযোগ আছে যেমন প্লেয়ার এ জন্য n রোলস দ্বারা বলা। এটা অনেক বেশি না, কিন্তু অনুমান করা যায় না। তারপর প্রথম এন রোলস পরে, খেলা এখনও চলতে থাকলে, খেলা আবার চলমান জন্য হিসাবে এই প্যাটার এ দ্বারা আহৃত হিসাবে পাশা আচরণ করবে অন্তত একটি 1/36 ^ এন আবার হবে, এটি এড়িয়ে চলতে হবে এই 1/36 ^ n সম্ভাবনা এটি একটি সময় জন্য ঘটবে, কিন্তু সম্ভাবনা সঙ্গে 1, অবশেষে সম্ভাবনা 1/36 ^ এন ঘটনা ঘটবে, এবং পাশা আখলাক হিসাবে হিসাবে আচরণ হবে। যদি লটারিটি ন্যায্য এবং আপনি খেলে থাকেন তবে অবশেষে আপনি জিতবেন এবং এমনকি অসীমভাবেও জয়লাভ করবেন।
ঠিক আছে, তাহলে কীভাবে একজন খেলোয়াড় খেলাটি ডাইস শেষ করে? প্রথম, প্লেয়ার A বারের অন্তত একটি প্লেয়ার বন্ধ করতে পারেন। অবস্থানটি বৈধ কিনা তা করা যথেষ্ট সহজ; এটা হতে পারে না যে উভয় খেলোয়াড় শাট ডাউন হয়। সুতরাং যদি কোনও খেলোয়াড় বন্ধ না হয়, তবে তাদের সংখ্যা দ্বিগুণ দিন যা খোলা। এই বার থেকে যে প্লেয়ার এর সব চেকার পায়, তারপর আমরা পরবর্তী ধাপে চলতে পারেন। যদি না হয়, তাহলে 4 টি চেকার বারটি বন্ধ করে দিয়েছিল, এবং বেশিরভাগই আঘাত পেয়েছিল। তাই এখন বারে অন্তত 3 টি কম চেকার আছে। একটি ভাল অনুমান দিতে পারেন, তবে 30 টি চেকারের মোট সংখ্যাটি মোট 10 টি এক্সচেঞ্জ (২0 টি রোলস) হওয়ার পরেই বারে কোনও চেকার থাকবে না।
অবশেষে, যদি অন্ততপক্ষে একটি প্লেয়ার বারে না থাকে, তবে বারবার 2-4 কে কল করে গেমটি শেষ হবে। কার্ট ম্যাকমুলেনের ধারণাটির অংশ ছিল যে এই ক্ষেত্রে কমপক্ষে একটি প্লেয়ারটি অবশ্যই 2-4 এর অংশ নিতে সক্ষম হবে। আপনি যদি আমার একটি চেকারের সামনে ২ এবং 4 টি পিপ তৈরি করেছেন, তাহলে আপনার কাছে খেলার 2 টি আছে, বিন্দু 4 থেকে শুরু করে বিন্দু 2 পর্যন্ত। আপনি বারে যদি এটি খেলতে সক্ষম নাও হতে পারেন, তবে তারপরে আপনি বারটি সরাতে পারেন বা আমি আপনার সামনে ২ এবং 4 টি পিপ তৈরি করেছি, আমার ২ এবং 4 পয়েন্ট। তাই আমরা উভয় 2-4 এর এই জলজ অধীন আটকানো ছিল যে একমাত্র সম্ভাব্য উপায় যদি আমরা আমাদের 2 এবং 4 পয়েন্ট তৈরি সঙ্গে বার উভয় হয়। যে কোন পজিশন থেকে এমন একটি পজিশন হতে পারে না যার মধ্যে একটি প্লেয়ার 2-4 রোলস ক্রম দ্বারা বারে নেই, যেহেতু উভয় খেলোয়াড়ের বারের জন্য একমাত্র উপায় হল যে কেউ বার থেকে হিট করে এবং যদি আপনি হিট করেন আমার 2-4 এর সাথে বার থেকে আমাকে অবশ্যই আমার 2 বা 4 পয়েন্ট তৈরি করা উচিত নয়। তাই যদিও এটি হতে পারে যে উভয় খেলোয়াড়ই বারে, উভয় খেলোয়াড়ের ক্রমবর্ধমান ২-4-এর নিচে, এমন অবস্থান থেকে শুরু করে যেখানে বেশিরভাগ খেলোয়াড়ই বারে অন্তত এক খেলোয়াড়কে স্থানান্তর করতে পারেন।
ঠিক আছে, কিন্তু কি খেলোয়াড়রা একে অপরের পিছনে পাঠাবেন না? এখন কার্ট ম্যাকমুলেনের ধারণাটির দ্বিতীয় অংশটি আসে: আপনি যখন আঘাত পান, তখন আপনার পরীক্ষকটি বারে যায়, যা আপনার 25 পয়েন্ট। এদিকে, যে পাখির সর্বদা 2-4 দেখায় সেই পরীক্ষক সবসময় একটি বিজোড় বিন্দুতে থাকবে। আপনার অদ্ভুত বিন্দুগুলি আপনার প্রতিপক্ষের এমনকি পয়েন্ট, তাই একবার আপনার একটি চেকার আঘাত হ’ল, এটি আপনার প্রতিপক্ষের অদ্ভুত পয়েন্টগুলির একটিতে চেকারটি আঘাত করতে পারে না। যদিও পিপ গণনা হ্রাস পেতে পারে, কিছু অর্থে অগ্রগতি হচ্ছে; এমনকি একটি বিন্দু একটি চেকার অবশেষে আগমন আবশ্যক এবং একটি এমনকি বিন্দু ফিরে পাঠানো যাবে না। এটি একটি সংশোধিত pipcount ব্যবহার করে যা প্রতিটি এক্সচেঞ্জের হ্রাস করা হয় কিনা তা হ্রাস করে।
সংশোধিত পিপিসিটি অজানা পয়েন্টে চেকারের পিপয়েন্টের পাশাপাশি এমনকি পয়েন্টগুলিতে চেকারের পিপয়েন্টের 1২.5 গুণ হতে পারে।
b ..BB.. …… …… a….a .
উদাহরণস্বরূপ, উপরোক্ত অবস্থানে, সাদা জন্য সংশোধিত pipcount 6 বিজোড় পিপস এছাড়াও 12.5 বার 8 এমনকি পিপস = 106. নীল জন্য, 51 অজানা পিপ এবং 12.5 বার 6 এমনকি pips আছে, তাই সংশোধিত pipcount 126. মোট সংশোধিত পিপিসিটি 106 + 1২6 = ২3২।
সংশোধিত পিপকউন্ট প্রতি 2 বা 4 অভিনয় সঙ্গে হ্রাস:
- কোন পরীক্ষক আঘাত না করা হয়, স্পষ্টভাবে কমপক্ষে 2 দ্বারা পিপকার্ড হ্রাস হয়, যেহেতু অদ্ভুত pips বা এমনকি পিপ 2 বা 4 দ্বারা হ্রাস।
- যদি আপনার কোন অদ্ভুত বিন্দুতে একটি চেকার সরানোর দ্বারা আঘাত হ’ল, তাহলে আপনার প্রতিপক্ষের এমনকি একটি বিন্দুতে একটি চেকারকে আঘাত করতে হবে। আপনার অদ্ভুত পিপ মোট কমপক্ষে 2 হ্রাস। আঘাত পরীক্ষক আপনার প্রতিপক্ষের সংশোধিত পিপকউন্ট কমপক্ষে 25 পিপ (2×12) অবদান, এবং এখন অবদান যথাক্রিয়া 25 (বার), তাই আপনার প্রতিপক্ষের এর সংশোধিত পিপকউন্ট একই বা হ্রাস থাকে তাই সর্বনিম্ন সংশোধিত পিপকাট কমপক্ষে 2 দ্বারা কমে যায়
- আপনি যদি আপনার একটি এমনকি পয়েন্ট চেকার সরানোর দ্বারা আঘাত, এটি আপনার প্রতিপক্ষের একটি বিজোড় বিন্দু একটি পরীক্ষক আঘাত করা আবশ্যক। এটি অন্তত 25 (2 এমনকি পিপস বার 12.5) দ্বারা আপনার সংশোধিত পিপয়েন্টের সংখ্যা কমেছে। আপনার প্রতিদ্বন্দ্বী এর সংশোধিত pipcount সর্বাধিক 22 (3 থেকে 25) দ্বারা বৃদ্ধি, তাই মোট কমপক্ষে 3 দ্বারা হ্রাস
অবশেষে, একটি চেকারের সংশোধিত pipcountটি সর্বশ্রেষ্ঠ যখন এটি 24 পয়েন্টে হয়, যেখানে তার মান ২4 বার 12.5 = 300 হয়। 30 চেকার আছে, তাই সর্বোচ্চ সম্ভাব্য সংশোধিত পিপিসিটি 300 গুণ 30 = 9000। প্রতিটি এক্সচেঞ্জের সাথে, সংশোধিত পিপকার্ড কমপক্ষে 2 দ্বারা কমে যায়, তাই 9000 ২-4 এর পরে একটি সারিতে (4500 এক্সচেঞ্জ) সংশোধিত পিপিসিটি 0 থেকে কমিয়ে আনা হবে এবং খেলাটি শেষ হয়ে যাবে।
তাই কোনও আইনি অবস্থান থেকে, অন্তত একটি 1/36 ^ 9020 সুযোগ পরবর্তী 9020 রোলস মধ্যে খেলা শেষ হবে, তাই ব্যাকগ্যামন সম্ভাব্যতা 1 দিয়ে শেষ হয়।
অবশ্যই, কেউ কিছু আনুমানিক আঁকতে পারেন, এবং প্লেয়ার এ দ্বারা আরো বুদ্ধিমান পছন্দগুলি খুব শীঘ্রই খেলা শেষ হবে। শুরু থেকে, 8 5-5 এর পর 11-6-6 এর খেলা শেষ হবে। এক 2-4 পরিবর্তে 3-6 ব্যবহার করতে পারে এই খেলাটির জন্য 500-4২ রোলের বেশি রান করা সম্ভব হতে পারে। প্রমাণের এই পদ্ধতিটি একটি খেলার দৈর্ঘ্যের কোনও কার্যকরী সীমা প্রদান করে না, যেহেতু মহাবিশ্ব একটি ব্যাকগ্যামন গেমের অর্ধ-জীবন আগে যেটি 1/36 ^ 9020 প্রতি 9020 রোলস সম্ভাবনা সঙ্গে শেষ হয়ে যাবে। উপরন্তু, কোন ডিজিটাল র্যান্ডম সংখ্যা জেনারেটর অবশেষে চক্র, এবং এটি একটি খেলা যেমন জেনারেটর চক্র ব্যবহার করে খেলা সম্ভব হবে, অত্যধিক।
অন্যদিকে, এই ফলাফল মানে ব্যাকগ্রাউন্ডে কোন আকর্ষণ নেই। যদি ঘনক্ষেত্রে বা ম্যাচ খেলার মধ্যে একটি টুপি থাকে, তবে নিখুঁত খেলাটি বিদ্যমান এবং অবস্থানটি কীভাবে বন্য থাকে তাও কোনও ব্যাপার না, এমন কিছু ইকুইটি রয়েছে যা অবস্থানের ভিত্তিতে তত্ত্বগতভাবে নির্ধারণ করতে পারে। আমি আপনার সম্পর্কে জানি না, কিন্তু রাতে আমি এই ঘুম ভাল জানি।
Translated From : http://www.math.harvard.edu/~ctm/expositions/html/bgends.html