source : http://www.math.harvard.edu/~ctm/expositions/html/interview.html
पिछले सेमेस्टर, गणित क्लब को हार्वर्ड प्रोफेसर और हाल के फील्ड पदक विजेता कर्टिस मैकमुलेन के साक्षात्कार का विशेषाधिकार था। घंटे के साक्षात्कार के दौरान, प्रोफेसर मैकमुलेन ने अपनी पृष्ठभूमि, उनके शोध, देश भर के विभिन्न विश्वविद्यालयों और फील्ड पदक पर उनके अनुभवों पर चर्चा की। गणित क्लब प्रोफेसर मैकमुलेन को धन्यवाद देना चाहता है ताकि हम उसे बेहतर तरीके से जान सकें। प्रोफेसर मैकमुलेन के बारे में और जानने के लिए, http://math.harvard.edu/~ctm पर अपना वेबपृष्ठ देखें
प्रश्न: हार्वर्ड में आप कितने समय से रहे हैं?
एम: डेढ़ साल यदि आप मेरे स्नातक छात्र दिवसों की गणना नहीं करते हैं।
प्रश्न: तो आप यहां स्नातक छात्र थे?
एम: ठीक है।
प्रश्न: और आप एक स्नातक कहाँ थे?
एम: मैं वेस्टर्न मैसाचुसेट्स में विलियम्स कॉलेज में था, और फिर मैंने कैम्ब्रिज, इंग्लैंड में एक वर्ष बिताया।
प्रश्न: आप कहाँ से हैं?
एम: यह जवाब देने के लिए एक कठिन सवाल है। मैं मूल रूप से शार्लोट, वरमोंट में बड़ा हुआ, लेकिन वास्तव में मैं बर्कले, कैलिफ़ोर्निया में पैदा हुआ था। हम थोड़ी देर के आसपास चले गए, लेकिन मैं खुद को वरमोंट से होने के बारे में सोचता हूं।
प्रश्न: तो क्या आप हमें पदक के बारे में कुछ बता सकते हैं?
एम: मेरा मानना है कि यह 1 9 30 के दशक में शुरू हुआ था। यह एक कनाडाई, फील्ड द्वारा स्थापित किया गया था, और मुझे पता है कि अहल्फोर्स और डगलस को पहले दो दिए गए थे। यह आईसीएम में हर चार साल दिया जाता है, और हाल के वर्षों में वे इसे तीन या चार लोगों को दे रहे हैं। तो चलो देखते हैं, इस साल इसे और कौन मिला? Kontsevich, Gowers, और Borcherds। असल में उन सभी ने गॉवर के अलावा बर्कले में समय बिताया है, जहां मैं यहां आने से पहले पिछले सात सालों से था। तो मैं बर्कले से बोर्चेर्स और कॉन्टेसेविच दोनों को जानता था।
प्रश्न: जब आप पता लगाते थे तो आप कहाँ थे?
एम: मैं यहाँ था। आप कुछ महीने पहले से पता लगाते हैं, और इसे समारोह के वास्तविक दिन तक गुप्त रखा जाना चाहिए। तो वास्तव में मैंने किसी को भी नहीं बताया, जो काफी मुश्किल था, क्योंकि वहां अफवाहें फैल रही थीं, और मुझे लगातार इनकार करना होगा।
प्रश्न: क्या आप हमें बता सकते हैं कि आपका शोध किस पर था जिसने आपको पदक दिया?
एम: मुझे अपने शोध की दिशा से शुरू करते हैं। सबसे पहले, मैंने हार्वर्ड में अपनी थीसिस लिखी, लेकिन मैंने हार्वर्ड प्रोफेसर के साथ काम नहीं किया। मैं स्नातक होने से पहले क्लेनीन समूहों पर डेविड ममफोर्ड के साथ कुछ कंप्यूटर काम कर रहा था, और मुझे उस विषय में दिलचस्पी है। लेकिन मैं वास्तव में डेनिस सुलिवान के साथ अपनी थीसिस लिखना समाप्त कर दिया, जो उस समय न्यूयॉर्क में सिटी यूनिवर्सिटी और फ्रांस में आईएचईएस के प्रोफेसर थे। तो मैं बहुत भाग्यशाली था कि ममफोर्ड ने मुझे अपने स्नातक कैरियर के पिछले वर्ष में उनसे पेश किया, जिस समय मेरे पास कोई सलाहकार नहीं था और कोई थीसिस विषय नहीं था। और मैं फ्रांस गया और एक सेमेस्टर के लिए आईएचईएस में सुलिवान के साथ काम किया, और मैंने स्टीव स्मेल से मुलाकात की जिसने मुझे पुनरावृत्ति द्वारा बहुपद समीकरणों को हल करने के लिए यह अच्छी थीसिस समस्या दी।
आपने शायद बहुपदों को हल करने के लिए न्यूटन की विधि के बारे में सुना है। यदि आप क्यूबिक बहुपद के लिए न्यूटन की विधि लागू करते हैं, तो यह काम नहीं कर सकता है। आप स्थानीय न्यूनतम के तहत अटक जा सकते हैं।और यदि आप प्रारंभिक अनुमान को थोड़ा सा बदलते हैं, तो यह अभी भी रूट पर अभिसरण नहीं हो सकता है। इसलिए न्यूटन की विधि बहुपद समीकरणों को हल करने के लिए विश्वसनीय नहीं है। जिस समस्या पर मैंने काम किया था वह था कि न्यूटन की विधि जैसे कोई एल्गोरिदम था, जिसमें केवल एक तर्कसंगत फ़ंक्शन का पुनरावृत्ति शामिल था, जो विश्वसनीय रूप से बहुपद समीकरणों को हल कर सकता है। मैं साबित करने में सक्षम था कि उत्तर 4 या उससे अधिक डिग्री के लिए नहीं है, और वास्तव में मुझे क्यूबिक्स को हल करने के लिए एक नया एल्गोरिदम मिला, जो विश्वसनीय है।
तब मैं एमएसआरआई गया और एमआईटी में एक सेमेस्टर के लिए, फिर प्रिंसटन चार साल के लिए था। पीटर डोयले और मैंने पांचवीं डिग्री समीकरणों को हल करने के लिए प्रिंसटन में काम किया, और हमने क्विंटिक बहुपदों को हल करने के लिए यह सुंदर अप्रत्याशित एल्गोरिदम पाया। लेकिन यह मेरे थीसिस द्वारा विरोधाभास नहीं है क्योंकि यह पुनरावृत्तियों का एक टावर है; यानी, आप एक तर्कसंगत कार्य को फिर से शुरू करते हैं, उस चीज़ को लेते हैं जिस पर यह अभिसरण होता है, और उसे दूसरे में प्लग करता है।
जैसा कि आप जानते हैं, क्विंटिक को हल करना गैलोइस समूह ए 5 के साथ जुड़ा हुआ है, और तथ्य यह है कि ए 5 एक साधारण समूह है। गैलोइस द्वारा यह साबित करने के लिए प्रयोग किया जाता था कि आप कट्टरपंथियों द्वारा क्विंटिक समीकरण को हल नहीं कर सकते हैं।
यह पता चला है कि एक पुनरावृत्त तर्कसंगत मानचित्र का उपयोग करके समीकरण को हल करने में सक्षम होने के लिए, आपको एक तर्कसंगत मानचित्र मिलना है जिसका समरूप समूह बहुपद का गैलोइस समूह है। अब समूह का केवल एक छोटा समूह है जो रिमैन क्षेत्र पर समरूपता समूह हो सकता है, और दिलचस्प लोग प्लैटोनिक ठोस से आते हैं। तो एक 5 , डोडकाहेड्रॉन का समरूप समूह, सबसे जटिल है जिसे आप प्राप्त कर सकते हैं। क्विंटिक समीकरण को विश्वसनीय रूप से हल करने के लिए हमने एक नया एल्गोरिदम देने के लिए ए 5 समरूपता के साथ इस तर्कसंगत मानचित्र का उपयोग किया। और उसी टोकन से, चूंकि एस 6 या ए 6 रिमैन क्षेत्र पर काम नहीं करता है, इसलिए डिग्री 6, या अधिक के समीकरणों को हल करने के लिए कोई समान एल्गोरिदम नहीं है। तो यह मेरा पहला शोध क्षेत्र था: बहुपदों को सुलझाने, और तर्कसंगत मानचित्रों की गतिशीलता। संपर्क
अब, जब मैं प्रिंसटन में था, तो अगली बात यह थी कि थर्स्टन का हाइपरबॉलिक 3-मैनिफोल्ड का सिद्धांत था। Thurston एक शोध कार्यक्रम है, जो त्रि-आयामी वस्तुओं के लिए एक कैनोलिक ज्यामिति खोजने की कोशिश करने के लिए, बहुत सफल रहा है। उदाहरण के लिए, यदि आप कल्पना करते हैं कि आपके पास कुछ गुना है, तो यह गुप्त रूप से 3-गोलाकार है, यदि आप किसी भी तरह से एक गोल मीट्रिक पा सकते हैं, तो आप अचानक इसे 3-क्षेत्र के रूप में पहचान लेंगे। तो यदि आप एक मीट्रिक पा सकते हैं जो कई गुना एक अच्छा आकार देता है, तो आप पहचान सकते हैं कि कई गुना क्या है। यह पता चला है कि अधिकांश त्रि-आयामी कई गुना इन मीट्रिक को स्वीकार करते हैं, लेकिन मीट्रिक 3-गोलाकार की तरह सकारात्मक घुमावदार नहीं होते हैं, वे नकारात्मक रूप से घुमाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप एस 3 में गाँठ के बाहर ले जाते हैं, तो एक गाँठ पूरक होता है, तो यह लगभग हमेशा निरंतर नकारात्मक वक्रता के इन तथाकथित हाइपरबॉलिक मीट्रिक में से एक को स्वीकार करता है। इसके कारण, अब कंप्यूटर प्रोग्राम हैं, जहां आप माउस के साथ यादृच्छिक रूप से गाँठ खींच सकते हैं, और क्लिक कर सकते हैं, और एक या दो सेकंड के भीतर यह आपको बताएगा कि यह वास्तव में क्या है। और यदि आप इसे दो समुद्री मील देते हैं, तो यह तुरंत पहचान जाएगा कि वे एक ही गाँठ हैं या नहीं। यह आश्चर्यजनक है क्योंकि समुद्री मील वर्गीकृत करने की समस्या को हल करने के लिए क्लासिकल बेहद मुश्किल था।
प्रिंसटन में मुझे थुरस्टन के प्रमेय का एक नया, विश्लेषणात्मक सबूत मिला, जो कि कई गांठों के पूरक सहित कई 3-कई गुना पर हाइपरबॉलिक संरचना प्रदान करता है। इस नए सबूत को पोंकारे श्रृंखला, जटिल विश्लेषण में एक शास्त्रीय विषय के साथ करना है, और यह क्रा और बर्स के अनुमानों के समाधान का भी कारण बनता है। बाद में बर्कले में मैंने सर्कल पर फाइबर के 3-मैनिफोल्ड के सिद्धांत के बीच समानताएं देखना शुरू कर दिया; यह विषय प्रिंसटन “गणित के इतिहास” अध्ययन में दिखाई देने वाली 2 पुस्तकों में काम किया गया है। इन परियोजनाओं की मान्यता में फ़ील्ड पदक, मुझे कल्पना है।
इसलिए मैंने तर्कसंगत मानचित्रों की गतिशीलता पर काम किया, और मैंने हाइपरबॉलिक 3-मैनिफोल्ड पर काम किया, और मैंने प्रति रेमैन सतहों पर काम किया, और मैंने सतहों और नॉट्स के टोपोलॉजी पर भी काम किया है।और जिस चीज पर मैं जोर देना चाहता हूं वह यह है कि मेरे लिए उन सभी क्षेत्रों में वास्तव में एक ही क्षेत्र है। आप गतिशीलता में किसी समस्या पर काम करना शुरू कर देते हैं, और कुछ महीनों बाद गाँठ सिद्धांत या टोपोलॉजी में किसी समस्या पर काम कर रहे हैं, क्योंकि वे सभी बहुत जुड़े हुए हैं – नॉट्स, जटिल विश्लेषण, बहुपद, रिमेंन सतह, हाइपरबॉलिक 3-कई गुना , आदि। इस क्षेत्र के लिए वास्तव में कोई नाम नहीं है, लेकिन वह क्षेत्र है जिसमें मैं काम करता हूं।
प्रश्न: तो आप गणित के लिए अमेरिका के चार सर्वश्रेष्ठ स्कूलों में तर्कसंगत रहे हैं: प्रिंसटन, बर्कले, एमआईटी, और हार्वर्ड। क्या आप स्नातक स्कूल जाने के बारे में सोचने वाले स्नातक के लिए वायुमंडल, मित्रता, गतिशील लोगों के काम आदि के संदर्भ में उनकी तुलना और तुलना कर सकते हैं?
एम: वे वास्तव में अलग हैं। मुझे एमआईटी छोड़ने दो, क्योंकि मैंने केवल एक सेमेस्टर बिताया था। प्रिंसटन एक भयानक विभाग है, लेकिन शहर एक युवा व्यक्ति के लिए थोड़ा भरा और उबाऊ है। इसमें “हू इज़ हू” के लोगों की सबसे ज्यादा घनत्व है, और यह बहुत ही सुसंस्कृत है। कभी भी अप्रत्याशित कुछ भी नहीं हो रहा है। तो यह मेरे लिए बहुत जीवंत नहीं लग रहा है। लेकिन मैं स्नातक छात्र के रूप में वहां नहीं था। प्रिंसटन जाने के लिए एक शानदार जगह है यदि आप जानते हैं कि आप हमेशा के लिए वहां नहीं जा रहे हैं। मैं प्रिंसटन में अपने वर्षों पर बहुत प्यार से वापस देखता हूं।
प्रिंसटन और हार्वर्ड दोनों अपने स्नातक छात्रों का बहुत अच्छा व्यवहार करते हैं। प्रति संकाय छात्रों की संख्या का एक अच्छा अनुपात है। छात्र अच्छी तरह से वित्त पोषित हैं, विभाग इतने छोटे हैं कि छात्रों को बहुत से व्यक्तिगत ध्यान मिलते हैं। और मुझे लगता है कि छात्र दोनों जगहों पर एक-दूसरे से बहुत कुछ सीखते हैं। यह स्नातक शिक्षा का एक बड़ा घटक है।
बर्कले भी वास्तव में अद्भुत है। यह एक ऐसी जगह है जहां एक विशाल विभाग है, एक सौ संकाय यदि आप Emereti गिनती है। मैं वास्तव में इसे प्यार करता था, लेकिन एक अच्छा सलाहकार खोजने के लिए, और सही जगह, गणितीय और अन्य में जाने के लिए, एक अच्छी जगह खोजने के लिए बहुत सारी ऊर्जा लेती है। लेकिन जैसा कि आप करते हैं, यह आपको बहुत अधिक भुगतान करता है। और मौसम सुंदर है। आप परिसर से स्ट्रॉबेरी घाटी में टिल्डन पार्क में जा सकते हैं, और 40 मिनट के भीतर मानवता को पूरी तरह से देख सकते हैं। (हार्वर्ड में, दूसरी तरफ, मैंने पाया कि मैं एक घंटे तक साइकिल चला सकता हूं, और फिर भी उपनगर में हो सकता हूं …) बर्कले में स्विमिंग पूल बाहर हैं, यह बहुत जीवंत है, और यह भी बहुत सहिष्णु है – सभी प्रकार के लिए विभिन्न जीवन शैली, विभिन्न प्रकार के लोग। आप स्वतंत्रता की भावना महसूस करते हैं। आपको एक नया विचार करने की कोशिश करने के बारे में कोई योग्यता नहीं है, और इस बारे में चिंता न करें कि यह काम करने जा रहा है या नहीं। बर्कले के बारे में महान चीजों में से एक यह है कि इतने सारे स्नातक छात्र हैं, और विशेष रूप से एमएसआरआई के साथ क्षेत्र में इतने सारे पोस्टडॉक्स हैं कि आप किसी भी गणितीय विषय पर एक कार्यकारी समूह कर सकते हैं जिसके बारे में आप सोच सकते हैं। वहां बहुत सारे गणितीय हित हैं।
मैं वास्तव में हार्वर्ड में स्नातक छात्र होने का आनंद लिया। कैम्ब्रिज और बर्कले दोनों के पास प्रिंसटन पर फायदे हैं, इस अर्थ में कि वे युवा समुदाय हैं, वहां बहुत कुछ चल रहा है, वे एक बड़े शहर के नजदीक हैं। आप मेरे स्नातक अनुभव से थोड़ा सा बता सकते हैं कि हालांकि मुझे लगता है कि हार्वर्ड वास्तव में महान है, तथ्य यह है कि इसके संकाय छोटे हैं, ऐसे क्षेत्र में एक सलाहकार ढूंढना मुश्किल हो सकता है, जिसमें आप काम करना चाहते हैं। और मुझे लगता है कि स्नातक स्कूल में सफलता के लिए असली कुंजी कुछ ऐसा ढूंढ रही है जिसमें आप चार या पांच साल तक जाने के लिए पर्याप्त रुचि रखते हैं।
प्रश्न: आपने बर्कले से हार्वर्ड आने का चुनाव क्यों किया?
एम: मैं पहली बार एक आगंतुक के रूप में आया था। और मुझे यह सिखाने के लिए वास्तव में मजेदार लगता है। अंडरग्रेजुएट्स के लिए बर्कले कक्षाओं में अक्सर बहुत बड़ा होता है, और यह बहुत ही फायदेमंद था कि इन वाकई अच्छे छात्रों को एक छोटी कक्षा में रखा जाए। और मुझे वास्तव में यह तथ्य पसंद आया कि विभाग इतना छोटा है कि अन्य संकाय सदस्यों को जानना आसान है। और निश्चित रूप से, चूंकि मैं यहां स्नातक छात्र था, इसलिए मैं हमेशा हार्वर्ड को इस अद्भुत जगह के रूप में देखता था। असल में मुझे यहां एक प्रोफेसर होने की कल्पना करना मुश्किल लगता था, इसलिए मैं यह जानना चाहता था कि यह कैसा होगा। मैं इस तथ्य का आनंद लेता हूं कि मेरे ब्याज के क्षेत्र अलग-अलग हैं, लेकिन विभाग में अन्य लोगों के साथ ओवरलैपिंग करते हैं। मुझे अन्य लोगों द्वारा यहां की जाने वाली कई चीजों में बहुत दिलचस्पी है। तो मेरे लिए, एक तरह से, यह मुझे मेरी शिक्षा जारी रखने देता है।
प्रश्न: लेकिन क्या यह अन्य संकाय सदस्यों के सहयोग के लिए आपके अवसरों को कम नहीं करता है?
एम: पहली जगह में मैं काफी यात्रा करता हूं, इसलिए मैं उन लोगों को देखता हूं जो फ्रांस में मेरे क्षेत्र में हैं, या स्टोनीब्रुक में, या अन्यत्र। हालांकि, अधिकांश शोध स्वयं ही किया जाता है; मैं अपने आप से अपना सर्वश्रेष्ठ शोध करता हूं।क्षेत्र में एक विशेषज्ञ द्वारा तर्क चलाने में सक्षम होने के लिए यह बहुत उपयोगी है, लेकिन मुझे वास्तव में किसी ऐसे व्यक्ति को याद नहीं है जो वास्तव में मेरे क्षेत्र में सहयोग करने के लिए है। मुझे स्वीकार करना है, यहां आने का एक कठिन निर्णय था। मुझे बर्कले में रहने की याद आती है, और मैं वहां एक सब्सक्राइब कर सकता हूं।
प्रश्न: क्या आप खुद को पुनर्जागरण गणितज्ञ के रूप में देखते हैं कि आपके काम में गणित के विभिन्न प्रकार शामिल हैं?
एम (हँसते हुए): नहीं, मैं खुद को एक दुविधा के रूप में और अधिक देखता हूं, जो कि कई अलग-अलग क्षेत्रों में डबल्स करता है और कई अलग-अलग चीजों में दिलचस्पी लेता है; मैं निश्चित रूप से एक पुनर्जागरण गणितज्ञ नहीं कहूंगा। अब, मैं वास्तव में विभिन्न प्रकार के गणित का आनंद लेता हूं, और मुझे उस चीज़ पर काम करने का आनंद मिलता है जिसमें मैं एक विशेषज्ञ नहीं हूं और उस विषय के बारे में सीख रहा हूं। मैं जिस क्षेत्र का वर्णन कर रहा हूं वह वाकई अद्भुत है, क्योंकि यह इतना व्यापक है कि यह कई अलग-अलग प्रकार के गणित के साथ संपर्क बनाता है। जब मैं हार्वर्ड आया, तो मैंने पाया कि बहुत सारे सिद्धांत (जैसे कि जटिल कई गुना इत्यादि) के लिए, मैं वास्तव में इसे समझ नहीं पाया था और मैं इसका अध्ययन करने के लिए बहुत प्रेरित नहीं था। तो मैंने एक विषय से शुरुआत की जो मैं वास्तव में अच्छी तरह से सीख सकता था: एक असली चर।
जब मैं स्नातक था तब मैंने एक वास्तविक विश्लेषण पाठ्यक्रम लिया; मैं एक साल के लिए स्टैनफोर्ड गया और बेंजामिन वीस से एक महान वास्तविक विश्लेषण पाठ्यक्रम लिया जो यरूशलेम से एक अतिथि प्रोफेसर था। और वह वास्तव में मुझे विश्लेषण के बारे में उत्साहित हो गया। तब मैं विलियम्स वापस गया और मैंने बिल ओलिवर के साथ मिलकर काम किया। वह मेरी गणितीय शिक्षा में बहुत प्रभावशाली था; यह उनसे था कि मैंने गणित में शब्दकोशों का उपयोग करने के इस विचार को पहले अपने क्षेत्र को मार्गदर्शन करने के लिए विभिन्न क्षेत्रों या विभिन्न सैद्धांतिक विकास के बीच समानता के रूप में उपयोग करने के लिए इस विचार को सीखा। तो वे मेरे शुरुआती प्रभाव थे।
जब मैं हार्वर्ड आया और मैं इस तरह का कास्टिंग कर रहा था। मुझे पता था कि कंप्यूटर प्रोग्राम कैसे करें – मैं यॉर्कटाउन हाइट्स में आईबीएम-वाटसन में गर्मियों में काम कर रहा था – और मंडेलब्रॉट और ममफोर्ड लगभग सहयोग कर रहे थे; मंडेलब्रॉट यॉर्कटाउन हाइट्स टू ममफोर्ड में कंप्यूटर तक पहुंच प्रदान कर रहा था, जो क्लेनीन समूहों के सीमा सेटों की इन खूबसूरत तस्वीरों को चित्रित कर रहा था। यॉर्कटाउन में कंप्यूटर दुनिया के साथ बातचीत करने वाले किसी व्यक्ति के रूप में, मैंने उनके कंप्यूटर प्रोग्रामर के रूप में काम करना शुरू कर दिया, जिससे उन्हें इन तस्वीरों को और आगे खींचने में मदद मिली। आपको कल्पना करना होगा, उन दिनों में, हमें एक लंबी दूरी की मॉडेम कॉल करना था और फिर फोरट्रान में प्रति सेकंड टर्मिनल लेखन कार्यक्रमों में 30 वर्णों पर काम करना पड़ा। फिर हम एक तस्वीर खींचेगे और हमें यह देखने के लिए एक सप्ताह का इंतजार करना होगा कि यह यॉर्कटाउन से हमें यह मेल करे कि यह सही हो गया है या नहीं।
तब मुझे हॉउसडॉफ़ आयाम में रूचि मिली, और चूंकि मुझे कुछ वास्तविक विश्लेषण पता था, इसलिए मैंने उस पर काम करने की कोशिश की। मेरा पहला पेपर कभी भी एक समस्या पर था जब मैंने पहली बार प्रोफेसर हिरोनका से मुलाकात की, जो उस समय हार्वर्ड प्रोफेसर थे, हालांकि वह जापान में छुट्टी पर थे। जब वह पहली बार जापान से वापस आया, तो उसने मुझे यह प्रश्न बताया कि वह हल करने में सक्षम नहीं था, जो किसी विशेष सेट के फ्रैक्टल आयाम की गणना करना था। यह सेट पत्र “एम” को चित्रित करके और उसी आंकड़े को दोहराकर प्राप्त किया जाता है, जैसा कि यहां दिखाया गया है ।
अंत में आप एक सेट प्राप्त करते हैं जो स्वयं के समान नहीं है, लेकिन यह आत्म-affine है। फ्रैक्टल जिनके आयामों की गणना करना आसान है, संपत्ति है कि यदि आप एक छोटा टुकड़ा लेते हैं और दोनों आयामों में एक ही कारक द्वारा इसे फिर से स्केल करते हैं, तो यह एक बड़ा टुकड़ा दिखता है। इस संपत्ति में एक बहुत छोटा अंतर है जो बड़े अंतर को बढ़ाया जा सकता है, लेकिन आपको एक दिशा में दो की शक्ति और दूसरे में तीन की शक्ति से स्केल करना होगा; इसकी वजह से यह आयाम गणना करने के लिए मुश्किल है। मेरे पहले शोध पत्र में, मैंने इसका आयाम गणना की: डी = लॉग 2 (1 + 2 लॉग 3 2 )। यह एक अद्भुत समस्या थी; मैंने इस पर बहुत मेहनत की। आप देख सकते हैं कि मुझे गणित के मैदान के करीब रहना पसंद आया, जिसे मैं वास्तव में समझ गया।
तब मैंने जटिल गतिशीलता में अधिक रुचि लेने लगे, इसलिए मैं एक वास्तविक चर से एक जटिल चर में गया; मैं हमेशा सामानों के करीब रहता था जो मैं वास्तव में समझ सकता था। तो अब, मेरे पीएचडी के बारह साल बाद, मैं आखिर में एक पेपर लिख रहा हूं जिसे कैहलर ज्यामिति के साथ करना है; और जब मैं स्नातक स्कूल में था तब मैं निश्चित रूप से कैहलर मेट्रिक्स से सहज महसूस नहीं करता था। मुझे न केवल विषयों तक काम करना था, बल्कि उन्हें “इन्हें सीखने जा रहे हैं” -मैनर में उन्हें नीचे लाने के बजाए उन्हें पाने के लिए आंतरिक प्रेरणा भी देखना था।
प्रश्न: आपने “शब्दकोश समानार्थी” क्या कहा था?
एम: मेरा सबसे बड़ा गणितीय प्रभाव मेरा थीसिस सलाहकार, डेनिस सुलिवान था। न केवल वह मेरा थीसिस सलाहकार था, लेकिन जब वह फ्रांस में आईएचईएस में था, तो हम वहां हर गर्मियों में एक साथ कुछ महीनों खर्च करेंगे, और मैं न्यू यॉर्क या प्रिंसटन से अपने सेमिनार में जाऊंगा। वह अब स्टोनी ब्रुक, एनवाई में प्रोफेसर हैं, और मैं साल में एक बार वहां जाने की कोशिश करता हूं।
सुलिवान ने तर्कसंगत नक्शे और क्लेनीयन समूहों के बीच एक सुंदर शब्दकोश का आविष्कार किया। एक तर्कसंगत नक्शा Riemann क्षेत्र का एक नक्शा है जो दो बहुपदों के उद्धरण द्वारा दिया गया है; उदाहरण के लिए x 2 + c, जहां denominator में बहुपद है 1. अध्ययन करने के लिए दिलचस्प बात इन मानचित्रों के पुनरावृत्ति है। जब आपके पास कॉम्पैक्ट हाइपरबॉलिक 3-मैनिफोल्ड होता है, तो इसका सार्वभौमिक कवर ठोस (खुला) 3-बॉल बन जाता है।मूल कई गुना के मौलिक समूह की कार्रवाई से 3-बॉल का भाग्य कई गुना है। 3-गेंद को आर 3 , अर्थात् क्षेत्र एस 2 में अपनी सीमा जोड़कर संकलित किया जा सकता है। 3-बॉल पर समूह कार्रवाई सीमा एस 2 तक मोबियस परिवर्तन के रूप में फैली हुई है (यानी फॉर्म (एज़ + बी) / (सीजे + डी) के मानचित्र)। इसे क्लेनीयन समूह कहा जाता है। ध्यान दें कि हमने 3-आयामी कई गुना पर विचार करके शुरुआत की और हम क्षेत्र पर एक गतिशील प्रणाली के साथ समाप्त हो गए। इस प्रकार दो विषय जुड़े हुए हैं। इस कनेक्शन को स्पष्ट बनाने वाले कई प्रमेय हैं। मैंने यौ के सम्मेलन के लिए एक सर्वेक्षण लेख (“अनुरूप गतिशील प्रणालियों का वर्गीकरण”) लिखा था, जिसमें न केवल यह शब्दकोश दिया गया था, बल्कि इसके आधार पर परिणाम साबित करने के लिए एक शोध कार्यक्रम भी था। इस शब्दकोश को समझना और विकसित करना मेरे काम में एक बड़ी प्रेरणा रही है। उदाहरण के लिए, शब्दकोश में एक बड़ा अंतर मैंने वर्णित प्रक्रिया को उलट रहा है – अगर हमें क्षेत्र पर एक गतिशील प्रणाली दी जाती है, तो कोई भी यह नहीं जानता कि इससे जुड़े त्रि-आयामी वस्तु को कैसे ढूंढें। इस रोमांचक क्षेत्र में करने के लिए बहुत कुछ बाकी है!
प्रश्न: आप अपने फील्ड के पदक कहां रखते हैं? क्या आप इसे घर पर रखते हैं?
एम (हंसी): मैं उस जानकारी को प्रकट नहीं कर सकता!
प्रश्न: जब आप फील्ड के पदक जीते थे तो स्थिति क्या थी? इसे कैसे महसूस किया?
एम: मेरी पहली प्रतिक्रिया पूरी तरह से आश्चर्यचकित थी; मैं वास्तव में अजीब था। मैंने वास्तव में सोचा कि उम्र के मामले में मैं योग्य नहीं था। मैं यहां बहुत सारे महान गणितज्ञों और बर्कले और अन्य स्थानों पर भी जानता था, कि मुझे विश्वास नहीं था कि मुझे चुना गया था। इसके अलावा, 1 99 1 में, मैंने सलेम पुरस्कार जीता, जो विश्लेषण में एक पुरस्कार है; मुझे इस तरह से पहचाना जाने में प्रसन्नता हुई क्योंकि मुझे वास्तव में क्षेत्र पसंद है – यह गणितज्ञ के रूप में मेरा पहला था। असल में, मैंने सालेम नंबरों पर स्नातक छात्र के रूप में अपनी मामूली थीसिस लिखी थी, और यह पुरस्कार राफेल सालेम के सम्मान में है, इसलिए इसका मेरे लिए व्यक्तिगत अर्थ है। मैंने कभी इस तरह की मान्यता प्राप्त करने की उम्मीद नहीं की थी, इसलिए मुझे निश्चित रूप से लगा कि मुझे पहले से ही मान्यता का हिस्सा मिला है। (मैं भी आश्चर्यचकित था कि मुझे हार्वर्ड से एक प्रस्ताव मिला, फिर फिर, मुझे नहीं पता था कि क्या कहना है।)
यह दिमाग में लाता है लिपमैन बर्स की एक कहानियां, जो मेरे सलाहकारों में से एक थी; उन्होंने कहा: “गणित कुछ ऐसा है जो हम कुछ करीबी दोस्तों की प्रशंसा के लिए करते हैं।” मुझे लगता है कि यह गणित का एक अच्छा वर्णन है; आप उससे अधिक उम्मीद नहीं करते हैं, क्योंकि गणित की संतुष्टि वास्तव में एक व्यक्तिगत बात है। इसलिए मुझे बहुत भाग्यशाली लगता है कि फील्ड मेडल कमेटी द्वारा मान्यता के लिए चुना गया है।
गणित के बारे में अद्भुत चीजों में से एक यह है कि समुदाय काफी छोटा है। जब मैं इस पुरस्कार को प्राप्त करने के लिए बर्लिन गया, तो कई वर्षों से मुझे पता था कि कई लोग मौजूद थे – मेरे दोस्तों का एक अद्भुत अंतर्राष्ट्रीय समुदाय। यह वास्तव में एक अच्छी बात थी।
प्रश्न: आप अपने उत्साह को कैसे प्राप्त कर सकते थे?
एम: ठीक है, क्या हुआ, मैं इतना अजीब था कि मैं जल्दी से इसके बारे में भूल गया, क्योंकि मैं वास्तव में इसे विश्वास नहीं कर सका। और फिर हर बार थोड़ी देर में, मुझे याद होगा। और मुझे लगता है कि यह वास्तव में सच नहीं हो सकता है (हंसते हुए), और निश्चित रूप से, मेरे पास जांच करने का कोई तरीका नहीं होगा, क्योंकि इसे एक रहस्य होना था।
प्रश्न: क्या आप हमारे साथ पदक के बारे में कुछ और साझा करना चाहते हैं?
असल में, मेरे पास एक कहानी है जब मैं बर्लिन से वापस आ रहा था। मेटल डिटेक्टर चलाने वाले हवाईअड्डे में सुरक्षा गार्ड ने मुझे रोक दिया जब मेरा बैकपैक मशीन के माध्यम से चला गया। उसने कहा, “क्षमा करें, आपके बैकपैक में आपके पास क्या है?” मैंने कहा, “यह एक स्वर्ण पदक है।” उसने कहा, थोड़ा संदिग्ध, “मम्म हम्म।” तो मैंने इसे अपने पैक से बाहर निकाला। एक छोटी सी चीजें, उसने कहा “ओह, बहुत अच्छा, क्या यह तुम्हारा है?” मैंने कहा “एमएम हम्म!”